Полезная статья Мурашова о той задаче, которую я пытался решить. Вполне рабочее решение:

Код функции:

<?php
/**
 * The separate sub-menu
 *
 * Optional $args contents:
 *
 * container - Whether to wrap the ul, and what to wrap it with. Defaults to 'nav'.
 * container_id - The ID that is applied to the container. Defaults to blank.
 * container_class - the class that is applied to the container. Defaults to 'sub-menu-container'.
 * submenu_class - CSS class to use for the ul element which forms the menu. Defaults to 'sub-menu'.
 * string xpath - xPath expression.
 * echo - Whether to echo the menu or return it. Defaults to echo.
 *
 * @author Oleg Murashov <o.murashov@gmail.com>
 * @link http://omurashov.ru/wordpress/separate-output-menu-and-submenu/ Documentation
 * @param array $args Arguments
 * @return string|void.
 */
function get_submenu($args) {
    $defaults = array(
        'container' => 'nav',
        'container_id' => '',
        'container_class' => 'sub-menu-container',
        'submenu_class' => 'sub-menu',
        'submenu_id' => '',
        'xpath' => "./li[contains(@class,'current-menu-item') or contains(@class,'current-menu-ancestor')]/ul",
        'theme_location' => '',
        'echo' => true
    );

    $args = wp_parse_args( $args, $defaults );
    $args = (object) $args;

    $menu = wp_nav_menu(
        array(
            'theme_location' => $args->theme_location,
            'container' => '',
            'echo' => false
        )
    );

    $menu = simplexml_load_string($menu);

    $submenu = $menu->xpath($args->xpath);

    if (empty($submenu)) {
        return;
    }

    // Set value of class attribute
    $submenu[0]['class'] = $args->submenu_class;

    // Add "id" attribute
    if ($args->submenu_id) {
        $submenu[0]->addAttribute('id', $args->submenu_id);
    }

    if ($args->container) {
        $submenu_sxe = simplexml_load_string($submenu[0]->saveXML());
        $sdm = dom_import_simplexml($submenu_sxe);

        if ($sdm) {
            $xmlDoc = new DOMDocument('1.0', 'utf-8');
            $container = $xmlDoc->createElement($args->container);

            // Add "class" attribute for container
            if ($args->container_class) {
                $container->setAttribute('class', $args->container_class);
            }

            // Add "id" attribute for container
            if ($args->container_id) {
                $container->setAttribute('id', $args->container_id);
            }

            $smsx = $xmlDoc->importNode($sdm, true);
            $container->appendChild($smsx);
            $xmlDoc->appendChild($container);
        }
    }

    if (isset($xmlDoc)) {
        $output = $xmlDoc->saveXML();
    } else {
        $output = $submenu[0]->saveXML();
    }

    if (!$args->echo) {
        return $output;
    }

    echo $output;
}
?>

Работа с функцией очень похожа на работу с wp_nav_menu(). Параметры передаются в виде массива ключ-значение. К обязательным ключам можно условно отнести только theme_location, значение которого определяет основное меню, из которого мы будем выдергивать вложенные.

Ключ xpath позволяет определить поведение функции. По умолчанию, выбирается подменю для текущего активного пункта, если оно у него есть. Можно выбрать какое-то конкретное, передав строку вида ‘./li[contains(@class, "menu-item-99")]/ul’.

Ключ container задает тэг контейнер, но в отличии от wp_nav_menu(), где его значение может быть только div или nav, здесь можно использовать любой тэг, например section или span.

Имена остальных ключей говорят сами за себя и в комментариях, я полагаю, не нуждаются.

Пример вызова

<?php
    $submenu = get_submenu(array(
        'container' => 'nav',
        'container_id' => 'container-sub-menu',
        'container_class' => 'container-sub-menu',
        'submenu_id' => 'main-sub-menu',
        'submenu_class' => 'sub-menu',
        'theme_location' => 'header',
        'echo' => false,
    ));

    echo $submenu;
?>

…
Источник: http://omurashov.ru/wordpress-separate-output-menu-and-submenu/
Вывод подменю отдельно от основного меню в WordPress